: архив : архив журнала "625" : 2000 : #1

Дифракция
Леонид Чирков

Дифракция (от латинского diffractus - разломанный) - этот термин не совсем точно отражает сущность волнового процесса. Первоначально под дифракцией понимали явление, связанное с огибанием волнами каких-либо препятствий. Современная теория волн и оптики, в частности, расширила это понятие и теперь оно включает любые процессы распространения волн, идущие с отклонением от законов геометрической оптики.

Как ни странно, дифракционные явления не зависят от природы волн. Они одинаково приложимы и к световым волнам, и к звуковым, и даже к поверхностным волнам морей и океанов. Поэтому все, что будет в дальнейшем сказано о дифракции света, применимо (с обычными поправками на длины волн и фазовые скорости) к любому волновому процессу. Кроме того, поскольку дифракционные явления начинаются там, где нарушаются геометрические законы, они могут выполнять и выполняют функцию меры, с одной стороны которой действует геометрическая оптика, с другой - волновая. А сама мера является границей (достаточно размытой) допустимости геометрических представлений.

Описания дифракционных явлений большей частью сложны и трудны для восприятия. Мир волн совсем не похож на тот, что окружает нас. Однако и здесь есть светлое пятно: наиболее часто в оптике, благодаря малым, менее микрона, длинам волн, дифракционные отклонения от геометрической прямолинейности обычно малы, а соответствующие оценочные соотношения предельно просты. При этом даже подготовленные специалисты часто не знают, что между частотным представлением электрических сигналов и дифракционными явлениями существуют, и не случайно, определенные параллели. Вот о них-то мы и поговорим.

Спектр гармонического колебания - дельта-функция, то есть импульс в пространстве частот нулевой длительности, но бесконечно большого размаха, - и все это нормировано так, что энергия импульса равна некоторой единице. Что произойдет, если вместо бесконечной синусоиды мы передадим только отрезок гармонического сигнала частоты f0 и длительностью T (рис. 1а). За пределами отрезка гармонический сигнал считаем полностью подавленным. В итоге он перестает быть гармоническим. Амплитудный спектр импульса длительности T имеет форму, представленную на рис. 1б. Энергетический спектр является квадратичной функцией амплитудного (рис. 1в).

Кривая, воспроизведенная на рис. 1б, - это знаменитая функция синка: sincx=sinx/x. Для рассматриваемого случая: x=p(f-f0)T. Центральный максимум этой функции равен 1, боковые, соответственно: (1/p)(1+0,5n); n=1, 2, 3… Синк и является нормированной к единице амплитудно-частотной функцией прямоугольного импульса. Квадрат этой функции - энергетический спектр гармонического отрезка.

Для нас в этом примере самое важное то, что одиночный импульс длительности T, появившийся как результат "обрезания" неким временным фильтром гармонической (одночастотной) несущей, приобретает сплошной и, строго говоря, неограниченный спектр. Иными словами, чем более четко мы пытаемся локализовать сигнал во временном пространстве, тем более размазываем его в частотном. Все сказанное об электрическом гармоническом процессе, конечно, полностью применимо и к световым волнам. В квантовой механике такая связь пространственной (временной) локализации с частотами называется "соотношением неопределенностей".

Оптическим аналогом метаморфоз прямоугольного импульса будет дифракция света на щели. Пусть ширина щели равна D, а длина не ограничена. Благодаря такому выбору для полного описания дифракции достаточно рассмотреть процесс в одной плоскости, ортогональной плоскости щели, в направлении ее длины. Плоская волна, об этом уже говорилось, пространственный аналог гармонического сигнала. Ее пространственный спектр - дельта-функция. Частотный спектр волны, обрезанной щелью (пространственным импульсом), определяется той же функцией - рис. 1б, энергетический спектр - рис. 1в.

Пространственные частоты - это один из самых последних оптических терминов. Теперь самое время поговорить о них. Если временная частота ft определяется как функция обратная времени, то есть 1/t, то пространственные частоты - это функции, обратные расстояниям, то есть 1/x. Для временной частоты мы используем особую единицу Гц=1/c. Для пространственных частот специальной единицы пока не придумано, поэтому пользуются обратными метрами, то есть 1/м. Например, пространственно-временной гармонический волновой процесс (плоская волна) описывается функцией:

Мы привыкли к тому, что любой электрический сигнал может быть представлен амплитудно-частотной функцией (АЧХ). Фактически речь идет о совокупности гармонических сигналов, амплитуды которых определяются значением амплитуды или ее квадрата на соответствующей частоте. То же самое можно сказатьи о пространственных частотах, то есть световые пучки можно представить совокупностью плоских волн. Пространственные частоты fx и fy определяются на какой-либо плоскости, третья пространственная частота fz вычисляется по условию сохранения волнового числа:

Вернемся к дифракции света на щели. Геометрическая интерпретация этого процесса поясняется рис. 2. Световая волна падает на щель снизу. Плоскости непрозрачного экрана (ортогональна рисунку) соответствуют темно-синие отрезки, светлый участок между ними - щель в экране. График под плоскостью экрана - энергетическая частотная функция прямоугольного импульса, показанная на рис. 1в. Она приспособлена к рассматриваемому случаю. Иными словами, речь идет о функции (sinx/x)2 при x=pfxDх.

Выделенный зеленым круг - это рассеченная плоскостью рисунка часть цилиндрической поверхности с диаметром, равным волновому числу 2pn/l. Ее будем называть поверхностью волновых векторов. Считаем, для простоты, что свет падает на экран ортогонально, соответствующий волновой вектор выделен зеленым цветом. Надо сказать, что на оптических частотах амплитуда волны - физически ненаблюдаемый параметр, речь может идти только об энергетических частотных характеристиках.

Построение картины дифракции ведется следующим образом. Через точки частотной характеристики проводятся линии ортогонально экрану - на рисунке это тонкие черные (минимумы) или красные (максимумы) линии - до пересечения с поверхностью волновых векторов. Линия, проходящая через точку пересечения и центр щели, указывает направление луча, отвечающего выбранной пространственной частоте. На рисунке красным цветом выделены лучи, соответствующие максимумам дифракционной кривой. Черные линии соответствуют дифракционным минимумам. Интенсивность луча того или иного направления пропорциональна высоте отсчета ее пространственной частоты. Если отсчеты частотной функции перенести на соответствующие им направления лучей, то получим кривую, выделенную на рисунке коричневым цветом - это диаграмма направленности светового потока за экраном.

Итак, пространственной частоте fx, а в более общем случае частотам fx и fy, соответствуют определенные направления лучей в дифрагировавшей волне. Это принципиально важный вывод. Масштабные соотношения, использованные на рис. 2, достаточно условны. Например, при ширине щели 1 см и длине волны 1 мкм угол между направлением волнового вектора падающего луча и первыми минимумами равен 1/1000 рад. Итак, 2s=l/nDx определяет расходимость светового потока, приобретенную в результате дифракции на щели. Этот угол и является оценочным, когда необходимо прикинуть дифракционные отклонения от геометрической оптики при апертурных ограничениях светового потока.

Что произойдет, если вместо щели рассмотреть прямоугольное отверстие с размерами сторон Dx и Dy? Иными словами, из волнового фронта плоской волны мы вырезаем некий прямоугольник. Амплитудно-частотная характеристика определяется как произведение двух синков, а энергетическая - квадратом этого произведения, то есть:

Почти все сказанное можно отнести и к случаю дифракции света на круглом отверстии. Лишь несколько изменится форма пространственной частотной характеристики. В этом случае она представлена функцией J1(r)/r, где J1(r) - функция Бесселя первого порядка. Официальное название функций Бесселя - цилиндрические функции. Впервые они были введены при решении задачи собственных колебаний тонкой цилиндрической пластины. Цилиндрические функции обычно проявляются при математическом описании волновых процессов, имеющих круговую симметрию, а также при описании дифракции волн на периодических структурах. Функция J1(r)/r очень похожа на рассмотренную выше функцию синка sinx/x, различия отмечаются только в некоторых деталях. Так, максимумы и минимумы синка, за исключением первого, - эквидистантны, у функции J1(r)/r - нет, и лишь при больших значениях они приближаются к постоянному параметру - тому же, что у синка. Для сравнения в таблице приведено в радианах (параметр fxx) положение 0-, 1-, 2-, 3-го максимумов этих функций и квадраты высоты соответствующих максимумов.

Как видно из таблицы, при дифракции на круглом отверстии расстояние между максимумами больше, чем при дифракции на прямоугольном окне, при этом интенсивность соответствующих максимумов оказывается выше. Тем не менее, оценочный угол 2s = l/Dx используют и в случае дифракции на круглом отверстии.

Если в круглом отверстии разместить линзу, то в фокальной плоскости можно наблюдать дифракционное поле - это система светлых и темных колец. На рис. 3 приведено дифракционное поле для круглого отверстия. Размер центрального светлого пятна, примерно, d = fs = fl/r. Здесь f - фокусное расстояние, r - радиус линзы. Параметр d определяет дифракционное ограничение линзы, то есть диаметр минимального светового пятна, в который можно с ее помощью сфокусировать световой пучок. Та же самая картина наблюдается при дифракции на диафрагме линзы. Из приведенного оценочного соотношения следует, что при r > 2f диаметр минимального светового пятна оказывается меньше l/2. Этот вывод принципиально неверен. Надо сказать, что аппроксимацию оценочных соотношений в сторону малых и больших чисел следует делать осторожно, иначе не избежать ошибочных выводов. Здесь в силу вступает волновое соотношение неопределенностей. Оно не разрешает локализацию волны в сфере, диаметр которой меньше или равен l/2.

В оптических приборах очень часто применяются дифракционные решетки. Структура решетки может быть полосатой. К примеру, такие решетки могут быть нарисованы на поверхности стекла алмазной иглой в виде параллельных борозд. Решеткой может служить и зафиксированное на фотопленке интерференционное поле. Решетками могут быть и кольцевые структуры. К слову, муаровый эффект, хорошо заметный при рассматривании поверхности лазерного, например, CD-диска под косым углом, вызван дифракцией света на кольцевых дорожках диска. Как правило, применяются регулярные решетки, шаг которых если и меняется, то по относительно простому закону. Шаг решетки - это расстояние между соседними полосами, кольцами и т.п. Линейчатые решетки с постоянным шагом являются периодическими. Решетки могут быть амплитудными и фазовыми (рис. 4).

Линейчатая амплитудная решетка - это последовательность прозрачных и непрозрачных полос. Непрозрачные полосы могут быть поглощающими и рассеивающими свет. Рисованная штриховая решетка, например, является диффузно-рассеивающей на штрихах. В фазовой решетке переменной является ее оптическая толщина nlр. При этом меняться может как коэффициент преломления n, так и толщина решетки lр, например, за счет соответствующей деформации поверхности. Дифракционные решетки толщиной lр, размеры которых в несколько раз меньше длины волны света, называются тонкими. Если толщина решетки значительно превышает длину волны света, решетку называют толстой. Характер дифракции в тонких и толстых решетках принципиально различен. Толстые решетки могут быть только фазовыми.

На рис. 5 показана типичная дифракционная картина, образовавшаяся при рассеянии плоской световой волны на неограниченной полосковой дифракционной решетке с постоянным шагом lр. Считаем, что волна падает на решетку снизу, ортогонально ее плоскости. В результате возникает система плоских волн, распространяющихся в направлениях дифракционных максимумов. Пространственные частоты, соответствующие дифракционным максимумам, - fk=kp/ nlр, где k - номер дифракционного максимума. Параметр f1 (k = 1) можно определить как волновое число решетки, при этом все точки fk (k=±1, ±2 и т.п.) связаны с f1 соотношением fk=kf1. Направления максимумов геометрически строятся так же, как и при дифракции на щели (рис. 2). Через точки fk проводятся вертикальные линии до пересечения с волновой поверхностью. Вектор, направленный в эту точку, является волновым вектором k-го максимума. Углы дифракции в k-ый максимум определяются достаточно просто, если заметить, что отношение fk/F=sinjk. Напомню, что F - волновое число световой волны. Отсюда следует, что:

Первое из равенств является общим определением углов дифракции на тонкой периодической решетке, второе применимо в случае, когда постоянная решетки много больше длины волны света, например, десять и более микрон. Обычно считается, что дифракция на тонкой (нулевой толщины) решетке ведет к образованию бесконечного числа максимумов. Но это заблуждение. Например, рис. 5 показывает, что при конечном (ненулевом) значении f1 обязательно существует такое k, при котором fk выйдет за полукруг волновых векторов. Поэтому вертикальная линия из такой точки k не пересечет полукруг, а, следовательно, в этой области нет волновых векторов с определенным волновым числом. В этой области могут реализовываться только неоднородные поверхностные волны.

Интенсивности лучей дифракционных максимумов для разных типов решеток различны. Для амплитудной решетки с равной шириной светлых и темных полос интенсивность того или иного максимума пропорциональна квадрату соответствующего максимума синка. Для фазовых решеток интенсивности максимумов пропорциональны квадратам функций Бесселя соответствующего порядка. Но все это верно только для нереализуемых в принципе решеток нулевой толщины. При конечном размере толщины d интенсивности максимумов снижаются, причем все по тому же закону синка:

В приведенной формуле Dfk - это векторы, которые на рис. 5 проведены вниз и замыкают векторную диаграмму, состоящую из волнового вектора предыдущего максимума и волнового вектора решетки k-го максимума. Уже упоминалось, что волновой вектор связан с импульсом фотона. Наличие векторного скачка Dfk свидетельствует, что дифракция проходит без сохранения импульса. Это объясняется тем, что в тонком периодически неоднородном слое фотон оказывается на некоторое время запертым в тонком слое шириной d. В итоге, в направлении ортогональном слою, импульс не определен, поэтому и не сохраняется.

Квантовая механика позволяет нарисовать следующую картину дифракции. Фотоны первоначально сосредоточены в максимуме 0. В результате взаимодействия с решеткой они начинают перекачиваться в максимумы +1 и -1. Далее часть фотонов может возвратиться в максимум 0, другая отправиться в соседние максимумы более высокого порядка. Так и происходит постепенное расселение фотонов по максимумам. Все было бы хорошо, если бы "новички" в том или ином максимуме были синфазны "старожилам". Беда в том, что так не бывает. Фаза dDfk как раз и является мерой отставания или опережения по фазе. Последующая интерференция может "погасить" соответствующий максимум, если dDfk превысила p. Заменим k на 1 - и мы оценим границу толщины решетки, за которой дифракция теряет столь красивый регулярный характер.

Долгое время эксперименты по дифракции велись с использованием тонких решеток. Сейчас их прикладное значение котируется невысоко. Но они были и остаются хорошим объектом изучения некоторых "интимных" сторон дифракционного рассеяния света, важных и для более перспективных направлений дифракционной техники, в том числе и в наших отраслях. Вот почему мы остановились прежде всего на этом типе дифракции.

Однако дифракция возможна и на толстых решетках, если приняты меры к соблюдению закона сохранения импульса (эти меры поясняет рис. 6). Такая дифракция в физике известна как дифракция Брэгга. Английский физик У.Л. Брэгг и русский - Г.В. Вульф в 1913 г. независимо друг от друга установили условия, при которых можно наблюдать дифракционное рассеяние рентгеновских лучей от кристаллических решеток. И лишь значительно позже выяснилось, что условия Брэгга-Вульфа равнозначны требованию сохранения импульса фотонов.

Итак, дифракция на толстых решетках может наблюдаться только по строго определенным направлениям, для которых векторные диаграммы волновых векторов падающего, дифрагировавшего лучей и фазовой решетки оказываются замкнутыми. На рис. 6а и 6б показаны варианты дифракции в +1-ый и -1-ый максимумы. Надо сказать, что при определенных условиях весь поток падающего луча может быть перекачен в боковой максимум.

Толстая решетка, тем не менее, имеет все же конечную толщину. По этой причине допускается и некоторая "недозамкнутость" векторной диаграммы. Это важно, поскольку этим допускается дифракция лучей с ненулевой расходимостью.

На рис. 7 представлены три возможных варианта дифракции на фазовой отражающей решетке. В этом случае волновой вектор решетки не параллелен поверхности, но уходит вглубь вдоль нормали к поверхности или наклонно к ней. Первый вариант рис. 7а - отражение под углом p/3 (60°). Если вспомнить школьную геометрию, легко сообразить, что треугольник векторной диаграммы оказывается равносторонним. Поэтому соответствующие волновые числа (по условию построения стороны треугольника) совпадают, а, значит, lр=l. Таким образом, отражательная решетка с постоянной, равной длине волны света, способна отражать волну под углом в 60°. А что изменится, если падающий на решетку свет будет иметь иную длину волны? Соответствующий вариант для случая, когда длина волны возрастает, показан на рис 7а пунктиром. Мы видим, что угол падения и отражения луча возрастает. Если падающий луч имеет более короткую волну, то углы падения и отражения уменьшатся.

Несколько иная ситуация возникает при углах падения вдоль нормали или близких к ней (рис 7б). При строго нормальном падении отражение возможно только при условии, когда волновое число решетки вдвое превышает волновое число света. Отсюда, кстати, следует, что постоянная решетки и длина волны связаны соотношением lр=l/2. С ростом длины волны падающего потока волновое число решетки превысит волновое число света, и отражение будет невозможным ни при каких комбинациях. А вот с уменьшением длины волны (волновое число растет обратно пропорционально) дифракция становится возможна. Таким образом, с приближением к нормальному падению возникает частотная анизотропия свойств отражательной решетки. Все эти тонкости важны для понимания процессов воспроизведения изображений с художественных голограмм.

Волновой вектор решетки может быть ориентирован наклонно, что в принципе, и происходит чаще всего на практике (рис. 7). Бросается в глаза, что углы падения и отражения лучей относительно физической поверхности решетки - не одинаковы. Справедливость восторжествует, если определить эти углы относительно плоскости, ортогональной волновому вектору решетки. Иными словами, это замечание относится ко всем рассмотренным вариантам: зеркалом является отражающая решетка.

Вернемся к выводу, сделанному в связи с анализом рис. 7б. Итак, нормальное отражение реализуется на решетках с постоянной l/2. Вспомним о выводе, который мы сделали, рассматривая многослойные отражающие интерференционные покрытия. Для отражения монохромного излучения необходимы слои толщиной l/2. Это не случайное совпадение с требованием к толщине отражающего интерференционного фильтра, о котором было упомянуто в предшествующей статье, посвященной интерференции. В сущности, отражающие фазовые решетки и многослойные интерференционные структуры - это одно и то же. И теперь можно сделать принципиальный вывод: интерференция и дифракция - это нераздельные стороны одной волновой медали!

Завершая эту часть, следует сказать немного о принципе взаимности. Поясню его на следующем примере. Допустим, мы записали на фотографической пленке интерференцию двух световых потоков В1 и В2. Пленку проявили, может быть обработали, превратив амплитудную запись в фазовую (такое возможно). Затем поместили в установку, на которой проводилась запись и имеется возможность вновь использовать лучи В1 и В2. Так вот, принцип взаимности утверждает: при освещении записи (по сути, та же дифракционная решетка) лучом В1 мы воспроизведем луч В2. А взяв В2, увидим луч В1. Рис. 8 иллюстрирует это применительно к плоской и сходящейся волнам. На рисунке приведены схемы для тонких решеток. Если при записи использовать пучки, распространяющиеся навстречу, то же самое можно нарисовать и для отражающих решеток. Голография эксплуатирует именно этот принцип взаимности.

На рассмотренном материале видно, как некоторые явления оптики воплощаются в реально работающие приборы или элементы, например, в телевидении. Но это только начало, поскольку мы пока коснулись фундамента, обычно скрытого надстройкой конкретных схем. В определенной степени такой надстройкой и является геометрическая оптика, которой будет посвящена следующая статья. Вот там и начнется более конкретный разговор о приборах, используемых в кино и телевидении.