: архив : архив журнала "625" : 2003 : #4

Оптика. Линзы и объективы
Леонид Чирков

Термин "линза" происходит от латинского слова lens, означающего "чечевица". Изобретатель линзы анонимен, впрочем, как и колеса. Человек, без сомнения, познакомился с этим оптическим прибором в седой древности. Возможно, первая линза, которую взял в руки наш предок, была природным стеклом или прозрачным, но отшлифованным водой монокристаллом кварца, шпата и т.п., имеющим форму чечевицы или близкую к ней. Однако более вероятно, что линзу изобрели гиперборейцы – "северные люди", как их по-другому называли древние греки. Легендарные племена гиперборейцев – пращуры всех индоевропейских народов. Их родина простиралась от Скандинавии через Кольский полуостров до Северного и Среднего Урала и далее в Западную Сибирь. Руны – письменные памятники той давней поры. Для нас важно, что наши пращуры знали лед и, несомненно, познакомились с фокусирующими свойствами чечевицеобразных его кусочков. Вероятно, они научились формировать нужным образом лед и сознательно использовать фокусирующие свойства обработанного материала. Это – лишь предположение, но достаточно обоснованное. Надо сказать, что предки индоевропейцев были, по тому времени, высококультурными племенами. Стоит назвать технологию выплавки железа из болотной руды и обработки этого металла – основы технологического прогресса человечества. Другое достижение – одомашнивание лошадей. Это только часть великого наследия, оставленного предками индоевропейцев.

Считается, что первые очки появились в XIII веке, и это можно принять за исток оптических приборов на основе линз и их систем. Но уже Аристотель в IV в. до н. э. увязал явление радуги с преломлением света в каплях воды. Это свидетельствует о понимании им соответствующих физических процессов, включая фокусировку света каплями – первопричину направленного отражения. Создание первого сложного оптического прибора – двухлинзового микроскопа – связывают с голландцем З. Янсоном (примерно 1590 г.). Первый телескоп (1609 г.) приписан великому итальянцу Галилео Галилею. Без сомнения, и микроскоп, и телескоп, как оптические системы из двух линз, изучались и применялись (по крайней мере, в качестве подзорной трубы) до этих исторически зафиксированных фактов их применения.

Линзы

Когда речь заходит о линзах, как правило, имеют в виду стекло или другой прозрачный материал, который ограничен двумя сферическими поверхностями. При этом применение, за некоторыми исключениями, находят осесимметричные линзы (обе поверхности линзы имеют общую ось симметрии бесконечного порядка). Основные типы сферических линз представлены на рис. 1. Формально положительные и отрицательные линзы различаются по толщине в центре и на краю. Толщина положительных линз в центре всегда больше, чем на краю, у отрицательных, напротив, – меньше.

Рис. 1. Основные типы линз.  Положительные (сверху):  а – двояковыпуклая,  б – плосковыпуклая,  в – мениск.  Отрицательные (внизу):  а – двояковогнутая,  б – плосковогнутая,  в – мениск

Но принципиальным различием являются знаки фокусных расстояний. Фокусом принято называть точку, в которой сходится прошедший через линзу параллельный пучок света, как показано на рис. 2. Пучок, параллельный оси линзы, сходится в точке, лежащей на оси линзы. Эту точку называют главным фокусом. Наклонный по отношению к оси пучок сходится в точку вне оси. Поверхность, на которой лежат фокусы наклонных световых пучков, называют фокальной поверхностью. На этом и последующих рисунках она маркирована буквой F. Иными словами, фокальная поверхность F – геометрическое место фокусов. В идеальных оптических системах фокальная поверхность плоская. Условная поверхность, на которой как бы преломляется световой пучок, проходящий через линзу, называется главной (главными) плоскостью (плоскостями) линзы. Эта плоскость (на этом и последующем рисунках помеченная как Г) ортогональна оптической оси линзы. На рис. 2 ее след на плоскости разреза линзы – синяя вертикальная черта. Расстояние между главной и фокальной плоскостями называют главным фокусным расстоянием. Его принято маркировать как f. Итак, идеальная линза – это виртуальный прибор, составленный из двух фокальных плоскостей, между которыми размещена главная плоскость, обладающая собирающей или рассеивающей способностью. И это – полное определение идеальной или, иначе говоря, тонкой линзы. Реальные линзы – толстые в той или иной мере, и у них могут быть две главные плоскости – передняя Г и задняя Г '.

На рис. 2 световой пучок проходит через линзу слева направо. Но нет запретов и на обратное направление распространения луча. Поэтому линза, в общем случае, имеет вторые фокальную и главную плоскости, причем фокальные расстояния слева и справа могут быть различными. К слову, это замечание относится к любой оптической системе, например, к объективам. Если главная плоскость линзы является плоскостью симметрии, то возможна только одна главная плоскость, а передний и задний (по ходу луча) фокусные расстояния равны. Тонкая линза – не материальный объект. Она представлена в расчетных схемах главной плоскостью, которая наделена замечательной фокусирующей способностью. Наделена она и двумя фокальными плоскостями.

Рис. 2. Главные параметры  линзы:  синий - главная плоскость;  фиолетовый -  фокальная плоскость;  зеленый -  оптическая ось линзы

Систему, собранную из тонких линз, называют идеальной оптической системой. Рис. 2 наглядно поясняет принципиальное различие между положительными (собирающими) и отрицательными (рассеивающими) линзами. Положительные линзы "честно" собирают (фокусируют) параллельный световой пучок в реальную точку (световое пятно), отрицательные – рассеивают так, что фокус оказывается мнимым или, если хотите, виртуальным.

Изображения

В рамках геометрической оптики на основе опыта выработаны правила, позволяющие, исходя из основных параметров линзы, построить изображения условных объектов. Надо сказать, что ход лучей в реальной оптической системе эти построения отражают достаточно условно, но основные соотношения, связывающие объект и его изображение, в случае идеальной системы определяют точно. Схемы построения изображений с помощью правил геометрической оптики представлены на рис. 3.

Конечно, можно использовать и объекты сложной формы, но тогда построение следует проделывать по многим опорным точкам. Стрелка тем и хороша, что в этом случае достаточно проследить лишь за метаморфозой ее верхнего конца.

Итак, от вершины стрелки, основание которой опирается на оптическую ось, а сама стрелка ортогональна этой оси, следует провести два условных луча. Один луч направлен параллельно оси, другой проходит через передний (обращенный в сторону объекта) главный фокус. Первый луч преломляется на главной плоскости Г в сторону заднего главного фокуса, а второй луч, прошедший через передний фокус, преобразуется в луч, параллельный оси. Точка пересечения лучей, преобразованных таким образом, является вершиной стрелки на изображении. Точка основания объекта (стрелки) при ее переносе остается на оптической оси. Ортогональность стрелки и оси сохраняется.

Рассмотрим теперь собирающую линзу с двумя главными плоскостями (рис. 3б). Фокальный (проходящий через передний главный фокус) луч преломляется на передней плоскости Г и преобразуется на задней плоскости Г ' в параллельный оси. Что происходит с лучом в промежутке между главными плоскостями, обсуждать не принято. Это – нечто, подобное черному ящику. Луч, идущий от вершины стрелки параллельно оси, преломляется на плоскости Г ' и преобразуется в фокальный (идущий через задний главный фокус). Изображение, формируемое собирающими линзами, является действительным, но оно перевернуто по отношению к объекту.

В рассеивающей системе луч, идущий от вершины стрелки параллельно оси, преломляется так, что его продолжение (пунктирные линии на рис. 3в и 3г) проходит через передний главный фокус. Фокальный луч направлен в задний главный фокус и выходит из плоскости Г или Г ' (на рис. 3в и 3г соответственно) параллельно оси. Точка пересечения пунктирных линий определяет вершину стрелки изображения. Изображение, формируемое рассеивающими линзами, является виртуальным, но имеет ту же ориентацию, что и объект.

Фокусные расстояния f и f ' зависят от радиусов кривизны поверхностей линзы и коэффициента преломления материала линзы. К основным параметрам толстых линз (и оптических систем, как будет пояснено ниже) относится и расстояние между главными плоскостями. Расстояния объекта х и его изображения х' до соответствующих главных плоскостей связаны с фокусными расстояниями довольно простым соотношением, известным как формула линзы. Итак:

Ф' = 1/f ' = (n – n')(1/r – 1/r'); f '/x' – f/x = 1.

Коэффициент преломления n относится к материалу линзы, n' – к среде, окружающей линзу. Если это воздух, то n' = 1. Радиусы кривизны r и r' относятся, соответственно (по ходу луча), к передней и задней поверхностям линзы. В приведенных формулах (это следует помнить) все расстояния, направленные по ходу лучей, считаются положительными, против хода – отрицательными. С такой оговоркой формула линзы равноприменима к собирающим и рассеивающим линзам.

Рис. 3. Схемы построения изображения,  формируемого:  а – собирающими линзами с одной главной  плоскостью;  б – собирающими линзами с двумя главными  плоскостями;  в – рассеивающими линзами с одной главной  плоскостью;  г – рассеивающими линзами с двумя главными  плоскостями.  На всех схемах объект представлен красной  стрелкой.

Многие расчетные соотношения геометрической оптики, если в них перейти от расстояний к обратным величинам (с размерностью 1/м), существенно упрощаются. Обратная метру единица называется диоптрией. В современной теории изображений она известна как единица пространственной частоты. Это не случайно. Как преобразующий прибор линза является оператором Фурье. Иными словами, она сопрягает исходное изображение в передней фокальной плоскости с его фурье-образом в задней фокальной плоскости. Величину Ф' = 1/f ' называют оптической силой линзы. Такое название связано с тем, что

V = (х' – f ')Ф' = -1/(х – f)Ф = х'Ф' – 1

определяет линейное увеличение изображения, т.е. d' = Vd, где d и d', соответственно, – линейные размеры объекта и его изображения. В диоптрийном представлении формула линзы становится существенно проще: Х' – Х = Ф', где Х', Х – расстояния в диоптриях, т.е величины, обратные х', х. И еще, диоптрия примелькалась в быту в связи с очками. Положительные диоптрии свидетельствуют о собирающих линзах, которые применяются для коррекции дальнозоркости, отрицательные – о рассеивающих линзах для коррекции близорукости.

Сказанное выше, в основном, относится к тонким линзам и в случае реальных линз верно в так называемом параксиальном приближении. В параксиальном приближении рассматривают и учитывают лишь световые пучки, образующие малые углы с оптической осью. Принято считать, что в этом приближении оптические системы, составленные из реальных толстых линз, ведут себя как идеальные системы. Интервал допустимых углов задается из соображений точности расчетов. А вот насколько реальная система сопоставима с идеальной, определяют аберрации.

Аберрации

Термин аберрация составлен из двух латинских слов: aber – "уклонение" и ratio – "соотношение". В итоге aberratio или aberrare означает "уклонение, заблуждение". В оптике этим термином объединены различные погрешности (искажения) изображения, формируемого реальной оптической системой. Аберрации, по сути, – характеристики отклонения реальной оптической системы от ее идеального представления. Прежде всего, реальная линза имеет конечную и, в сравнении с длиной электромагнитной волны оптической части спектра, огромную толщину. С этим связана значительная группа аберраций. Кроме того, оптические параметры материала линзы не одинаковы по отношению к лучам с разной длиной волны. Это еще один источник погрешностей. Есть и другие. Реальные оптические системы, в том числе, конечно, и телевизионные, работают с широкими световыми пучками с заметной расходимостью. В итоге точки в пространстве предметов оказываются сопряженными в пространстве изображений не с точками, как следует из теории идеальных систем, а с размытыми световыми пятнами, в которые многое добавляет и дифракция света на апертурах элементов системы.

Сферическая аберрация связана с несовпадением главных фокусных расстояний лучей – компонентов широкого светового пучка, прошедших через линзу на разном удалении от оси. Толщина собирающей линзы спадает от центра к краям. По этой причине фокусные расстояния уменьшаются по мере удаления от оси зоны прохождения луча через линзу. Отрезок вдоль оси, в пределах которого размещаются все возможные фокусы толстой линзы, называют продольной аберрацией. Фокусы наклонных лучей размыты также и в поперечном направлении. Такую аберрацию называют поперечной.

Кома (греческое kome – волосы, хвост кометы) – так называют геометрическую аберрацию, характерную для наклонных световых пучков. И в этом случае "главный игрок" – переменная толщина линзы. Кома связана с нарушением осевой симметрии в плоскости "луч – оптическая ось". Световое пятно, в которое фокусируются наклонные лучи, теряет круглую форму. По мере удаления от оси световое пятно в фокальной плоскости все более походит на запятую или, как давно подметили, на комету.

Рис. 4. Исходное  изображение  (а) и дисторсия  подушкообразная (б),  бочкообразная (в)

Астигматизм – этот термин содержит греческий префикс отрицания a и слово stigme – "точка". Плоскость "оптическая ось – луч" создает пространственную анизотропию с двумя выделенными направлениями. Ими являются прямая, лежащая в этой плоскости и ортогональная оптической оси, и прямая, ортогональная этой плоскости. Такая анизотропия вызывает преимущественную концентрацию фокусов лучей, составляющих широкий световой пучок, вдоль выделенных направлений.

Кривизна поля изображения – еще одна геометрическая аберрация. Дело в том, что из-за переменной толщины линзы фокальная поверхность и, соответственно, поверхность изображений, в принципе, плоскостями не являются. Проявляется эта аберрация, например, в случае собирающей линзы, как потеря четкости при удалении от оси.

Дисторсия – термин, связанный с латинским словом distorsio – "искривление". Эта аберрация представляет собой нарушения геометрического подобия объекта и его изображения. Как видно из приведенных выше формул, коэффициент увеличения изображений V зависит от оптической силы Ф или, в конечном итоге, от фокусного расстояния f. Последнее зависит от зоны прохождения луча через линзу. Переменный коэффициент увеличения и является первопричиной дисторсии. Дисторсия наиболее заметна на объектах прямоугольной формы и может быть подушкообразной или бочкообразной (рис. 4). Мерой дисторсии является относительный коэффициент увеличения v = V0/(V – V0), где V0 – линейное увеличение в идеальной системе, V – текущее в реальной.

Хроматические (окрашенные) аберрации связаны с явлением дисперсии (см. "625", 1999, №2 первая статья оптической серии) – зависимости коэффициента преломления материала линзы от длины волны света. Термин образован с помощью греческого слова chroma – "цвет, краска". Выше приведена формула, определяющая оптическую силу линзы (или обратное ей фокусное расстояние). В эту формулу входит коэффициент преломления n материала линзы. Если он зависит от длины волны (окраски) света, то от этого зависит и положение фокальных поверхностей и, соответственно, поверхностей изображений. При нормальном ходе дисперсии наибольшее значение имеет фокусное расстояние для красных лучей, наименьшее – для синих и фиолетовых (рис. 5). Это – продольная хроматическая аберрация или, иначе, хроматизм положения. Напрямую от фокусного расстояния зависит коэффициент увеличения линзы. В итоге размеры изображения, сформированного собирающей линзой, в синей части спектра окажутся больше, чем в красной. Эта аберрация называется хроматизмом увеличения.

Рис. 5. Плоскости синего (а), зеленого (б)  и красного (в) изображений при хроматической  аберрации и соответствующие изображения точки

Аберрации, конечно, – зло, и притом зло, неустранимое в принципе. Но снизить их до приемлемых величин можно. Традиционный путь – замена отдельной линзы системой специально подобранных линз. Такая система – это комбинация положительных и отрицательных линз, знаки аберраций в которых различны. Надо сказать, что расчет систем линз с минимальными значениями аберраций – процесс весьма трудоемкий. В последнее десятилетие изменился и подход к снижению аберраций в сложных оптических системах. Основную роль в этом играют теперь асферические линзы. Поверхности асферических (не являющихся сферическими) линз рассчитываются специально под конкретную оптическую схему объектива, для коррекции которого и предназначена такая линза. Соответственно подбираются материал и толщина линзы в ее сечениях. В современных профессиональных объективах используется одна или несколько асферических линз, эффективно снижающих все типы аберраций до приемлемого уровня.

Оптические материалы

В очках уже достаточно длительное время широко применяются прозрачные органические материалы. Очки с органическими стеклами гораздо легче аналогичных по диоптриям стеклянных линз. В профессиональной оптике органические материалы применения практически не нашли. И дело в том, что до сих пор только силикатные (на основе SiO2 – двуоксида кремния) стекла способны удовлетворить жестким требованиям, предъявляемым к оптическим материалам для элементов профессиональных оптических приборов.

Главное требование – неизменность фронта световой волны, распространяющейся в оптическом материале. За этим скрывается требование чрезвычайно высокой однородности материала – химической и физической. Химическая однородность (гомогенность) обеспечивается тщательным механическим размешиванием расплава – это ответственная и довольно длительная стадия изготовления стекла. Абсолютно недопустимы такие пороки материала, как свили и пузыри, различные включения. Более сложно избежать внутренних механических напряжений. Они возникают в процессе неравномерного остывания заготовок будущих линз и их последующей механической обработки.

Физически однородное оптическое стекло является гомогенным и изотропным материалом. Оптическая гомогенность означает, что коэффициент преломления материала одинаков во всех точках. Оптическая изотропность – это одинаковые оптические параметры по любому направлению. Требования оптической гомогенности и изотропности связаны. Однако их нарушения отражаются на оптических свойствах материала по разному. Изменения коэффициента преломления от точки к точке приводят к искривлению траектории лучей в материале. Углы отклонения от прямолинейности, в общем, не велики, но они пагубно отражаются на разрешающей способности линз. Еще неприятнее то, что внутренние напряжения в материале ведут к возникновению оптической анизотропии (см. "625", 2000, №4, двулучепреломление в статье "Геометрическая оптика"). При этом наведенная анизотропия, как правило, различна в разных областях материала.

Бороться с этими неприятными явлениями можно, прежде всего, за счет тщательного и неторопливого (без "насилия") выполнения технологических операций. Одна из самых важных – остывание заготовок. Так, самая крупная в мире шестиметровая (по диаметру) линза для телескопа в станице Зеленчуг была изготовлена на Ленинградском оптико-механическом объединении (ЛОМО). Ее литая заготовка постепенно остывала в специальном помещении, и длился этот процесс около трех лет! Заготовка все это время находилась в тепловом равновесии с окружающей средой, температура которой очень медленно и плавно снижалась. Конечно, линзы, скажем, для телевизионных объективов не столь огромны, как шестиметровый монстр, и поэтому остывают быстрее. Но и для них этот процесс остается долговременным и требует самого тщательного контроля. Уже данный пример показывает, почему производство высококачественных линз столь дорого. Но подобных ответственных технологических операций в производстве оптических стекол и оптических приборов достаточно много.

Основные технологические операции: подготовка исходной смеси – расплав – литье заготовки – остывание – внешняя обработка – нанесение просветляющих покрытий. Требование к исходной смеси – высокая степень чистоты основы (диоксида кремния) и добавок, определяющих физические параметры будущего стекла. Расплав, как отмечалось, должен быть химически гомогенным. Отливка стекла – достаточно давний технологический прием, но современная технология внесла в эту операцию нечто свое – литье под давлением, что позволяет исключить свили, пузыри и т.п., а также повышает качество поверхности. Внутренние поверхности форм для литья должны быть обработаны с оптическим качеством. Безусловно, сфероидальность этих поверхностей следует выдержать по самому высокому классу точности. Внешняя обработка, в основном, – шлифовка. Процесс изготовления асферических линз следует по рассмотренной технологической цепочке. Критическим звеном здесь являются формы для литья. Поскольку в этом случае поверхности не являются сферическими, изготовление форм требует индивидуального подхода. Форма поверхности зависит от схемы и параметров объективов, для коррекции которых будущая асферическая линза предназначена.

Примерно 20 лет назад в мировых каталогах стало принято вести классификацию оптических стекол по трем основным параметрам: коэффициенту преломления, среднему значению дисперсии и коэффициенту дисперсии. Интервал возможных значений коэффициента преломления оптических стекол разного состава – 1,4…2. Кроны – легкие стекла, в основном, с n < 1,5. Это собственно крон, легкий крон, кронфлинт. А вот коэффициент преломления особого крона близок к 1,6; баритового – к 1,55. В интервал 1,5…1,6 попадают также особый и легкий флинты. В интервале значений коэффициента преломления 1,6…1,7 разместились тяжелый крон, флинт и баритовый флинт. Выше отметки n = 1,7 закрепился сверхтяжелый крон, а к 1,8 приблизились тяжелый и тяжелый баритовый флинты. Но самое высокое значение коэффициента преломления принадлежит сверхтяжелому флинту – около 2. Выше по этому параметру только некоторые монокристаллы, а на вершине – алмаз (n = 2,417). К слову, для алмаза характерно и самое высокое значение дисперсии, т.е. зависимости коэффициента преломления от длины волны света. Сочетание сверхвысокой дисперсии с самым большим абсолютным значением коэффициента преломления и создает ту исключительно красочную игру света, которая выделяет бриллианты среди других драгоценных камней.

Продолжение следует